$a$ व्यास वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन वाले लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई क्या है?

मान लीजिए $f: D \rightarrow R$, $D \subseteq R$, $c \in D$ और $r$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$Y$. $c$, $f$ का एक चरम बिंदु है $\Rightarrow c$, $rf$ का एक चरम बिंदु है
$M$. $c$, $f$ का एक चरम बिंदु है $\Rightarrow c$, $r+f$ का एक चरम बिंदु है
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

मान लीजिए कि $(2\alpha, \alpha)$ वह सबसे बड़ा अंतराल है जिसमें फलन $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$, निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) है। तो फलन $g(x) = 2\log_e(x-2) + \alpha x^2 + 4x - \alpha, x > 2$, का स्थानीय उच्चतम मान ज्ञात कीजिए।

$4e^{2x} + 9e^{-2x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = x^3 + px + 1$ है और निम्नलिखित तीन कथनों पर विचार करें:
$(i)$ $p \geqslant 0$ के लिए,$f(x) = 0$ का एक ऋणात्मक मूल है और $f(x)$ मोनोटोनिक है।
$(ii)$ $-1 < p < 0$ के लिए,$f(x) = 0$ का एक ऋणात्मक मूल है और $f(x)$ नॉन-मोनोटोनिक है।
$(iii)$ $p < -3/\sqrt[3]{4}$ के लिए,$f(x) = 0$ के तीन वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?